In questo corso apprenderai i principi e i metodi della modellizzazione matematica e computazionale dei processi di popolazione e delle equazioni differenziali stocastiche, con applicazioni in numerosi ambiti, tra cui l’Intelligenza Artificiale, l’epidemiologia, la biologia, le scienze socioeconomiche, la fisica statistica, le reti di calcolatori e l’ecologia. **Conoscenza e capacità di comprensione**: acquisirai le basi dei modelli stocastici con spazio degli stati discreto e continuo, nonché delle approssimazioni stocastiche. Imparerai a simulare tali modelli per analizzarli e comprenderne il comportamento, e a stimarne i parametri a partire da dati sperimentali. **Capacità di applicare conoscenza e comprensione**: sarai in grado di costruire un modello di un sistema complesso, cogliendo le caratteristiche essenziali da modellare e comprendendo quali dati sperimentali e informazioni sono disponibili e quale livello di complessità modellistica essi supportano. Imparerai a simulare un modello in modo efficiente, a utilizzare approssimazioni e a scegliere la più adatta in funzione del sistema e delle proprietà da analizzare, tenendo conto delle risorse computazionali disponibili. **Autonomia di giudizio**: al termine del corso gli studenti saranno in grado di integrare le conoscenze sulla modellizzazione e la simulazione di sistemi stocastici complessi, naturali e virtuali, e di formulare giudizi a partire dalle informazioni provenienti dai dati e dalla conoscenza qualitativa del sistema. Queste informazioni sono per loro natura incomplete o, più frequentemente, limitate. Durante il corso verranno affrontati anche i temi dell’etica della ricerca scientifica e dell’impatto della ricerca, così che alla fine gli studenti ne abbiano piena consapevolezza e siano, in linea di principio, in grado di affrontarli. **Capacità comunicative**: saper spiegare le idee di base e comunicare i risultati sia a un pubblico di esperti che a non esperti. **Capacità di apprendimento**: essere in grado di esplorare la letteratura scientifica, individuare approcci affini o alternativi e combinarli per risolvere problemi complessi.

Conoscenza di base di Python scientifico Algebra lineare Meccanica newtoniana di base Conoscenze di base sulle equazioni differenziali Biforcazioni e stabilità di base Conoscenze di base di analisi numerica (in particolare: simulazioni di ODE) Probabilità applicata di base

0. Questo non è un Corso di Stocastic Calculus. Questo è un Corso sulla modellazione e simulazione di fenomeni stocastici 1 Processi Stocastici e processi stocastici markoviani 2 Processi stocastici a tempo e stato continui 3 Discrete Time Markov Chains 4 Cotninupus Time Markov Chains 5 Simiulazione dei processi Stocastici 6 Inferenza Bayesiana dei parametri

Il Docente fornirà materiale in forma di files PDF che sarà caricato sugli struenti online di UniTS Main books to consult: The professor’s lecture notes Crispin Gardiner Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences (4th Edition) Springer 2009 Livi & Politi, Nonequilibrium Statistical Physics, A Modern Perspective, Cambridge University Press (only the First Chapter) Vulpiani Appunti di Meccanica Statistica del Non Equilibrio (Chapters 1-5) Textbooks On math prerequisites: Hale and Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer Glass and Kaplan, Understanding Nonlinear systems, Springer Boffetta & Vulpiani, Probabilità per Fisici, Springer Italy A Papoulis “Probability, Random variables and Stochastic Processes”

Importante: questo non è un corso di Stochastic Calculus (analisi matematica stocastico), ma un corso di modellizzazione e simulazione. Il nostro obiettivo principale è fornire un’introduzione incentrata sul significato dei concetti molto più che sulle proprietà matematiche delle equazioni e degli altri “oggetti matematici”. Le formule vengono spiegate, ma con un approccio euristico. Ogni argomento sarà introdotto tramite esempi tratti da biologia dei sistemi, biologia, epidemiologia, fisica statistica, ecologia, sociologia quantitativa, ecc. Elenco dettagliato degli argomenti: • Breve richiamo di alcuni concetti chiave dei sistemi dinamici non lineari • Modellizzazione in tempo continuo e spazio degli stati continuo: Equazioni Differenziali Stocastiche (SDE) • Algoritmi numerici per le SDE • Equilibri stocastici e stabilità locale stocastica • Formula di Itô • Equazione di Fokker-Planck • Effetto del rumore su sistemi multistabili • Transizioni indotte dal rumore (Noise Induced Transitions) • Integrazione stocastica • SDE di Itô e di Stratonovich • Processi stocastici limitati • Equazione di Fokker-Planck non lineare per modelli SDE ad alta dimensionalità e transizioni di fase • Processi stocastici spaziotemporali: ordine dal rumore • Risonanza stocastica • Oltre i modelli diffusivi: la Master Equation 5ME) • Prima introduzione alle catene di Markov in tempo continuo e discreto a partire dalla ME • Passeggiate aleatorie in tempo continuo (Continuous Time Random Walks) • Processi di Lévy e SDE di Lévy • Catene di Markov in tempo discreto: proprietà principali • Il concetto di ergodicità • Catene di Markov in tempo continuo (CTMC) e l’equazione di Master • Algoritmo di simulazione stocastica di Gillespie • CTMC doppiamente stocastiche e loro simulazione • La Population Continuous Time Markov Chain e la Chemical Master Equation • Dai modelli CTMC ai modelli deterministici ODE • L’algoritmo approssimato Tau-Leaping • L’equazione di Langevin chimica • Stima dei parametri: metodo dell’Approximated Bayesian Computation (ABC)

Lezioni frontali, illustrazione di articoli scientifici e sessioni pratiche. L’attività pratica includerà la semplice implementazione degli algoritmi di simulazione su modelli chiave, con l’utilizzo di strumenti e librerie esistenti. Esercizi pratici verranno proposti durante tutto il corso.

Porta il tuo laptop.

L'esame sarà suddiviso in due parti. Nella prima parte, lo studente dovrà scegliere un articolo scientifico e, dopo l'approvazione da parte del docente, dovrà lavorare su di esso. Il lavoro potrà consistere nella riproduzione dei risultati dell’articolo, nella realizzazione di nuove simulazioni oppure nell’estensione dei modelli proposti nell’articolo. Successivamente, lo studente dovrà preparare una presentazione sul lavoro svolto, che costituirà la prima parte dell’esame. **IMPORTANTE**: dalla descrizione sopra riportata dovrebbe essere chiaro che il progetto e la presentazione **non** devono consistere in un semplice abstract esteso dell’articolo scelto. La seconda parte dell’esame consisterà in una serie di domande semplici, sia teoriche che pratiche, riguardanti il programma del corso.

Il corso introduce gli studenti alle tecniche moderne di analisi e modellizzazione dei sistemi stocastici nelle scienze naturali e sociali, nonché alle relative tecniche matematiche e di simulazione. La modellizzazione stocastica matematica e computazionale dei fenomeni naturali e sociali è uno dei pilastri dello sviluppo sostenibile, e tutte le tecniche apprese in questo corso possono essere applicate in questo contesto.